Цепи первого порядка (First-order circuits)

Давненько я уже ничего не постил, разбавим чутка молчание теоретическим постом. Цепи первого порядка – RC/LC цепь, имеющая только один элемент, способный накапливать энергию. Попытаемся вывести базовые формулы, которые позволят строить зависимости напряжение/ток во времени.

Ну, погнали чтоли

RC цепь, емкость на землю.

Итак, пусть на входе напряжение скачкообразно изменилось с V0 до Vin.

Запишем узловое уравнение для выхода:

C\frac{dV_{c}}{dt} + \frac{V_{c}-V_{IN}}{R} = 0

Что в свою очередь приводит нас к:

RC\frac{dV_{c}}{dt} + V_{c} = V_{IN}

А это как обычное дифференциальное уравнение первого порядка, решаем!

Сразу оговорюсь, на правильность названий не претендую, курсы матана и диффур у меня уже практически забыты, плюс ко всему не хочется усложнять простые вещи, как любят это делать многие русскоязычные ресурсы, поэтому просто следите за мыслью :)

Напоминаю, решение дифференциального можно представить в виде:

x = x_{p} + x_{h}

Для Xp, перепишем уравнение в виде:

RC\frac{dV_{cp}}{dt} + V_{cp} = V_{IN}

И попытаемся угадать его решение:

V_{cp} = V_{IN}

Отлично, первая часть готова, остался Xh:

RC\frac{dV_{ch}}{dt} + V_{ch} = 0

Решение этой части должно находится в виде Ae^{st}

После подстановки такого вида в исходную формулу, получим следующее выражение:

RCs+1=0

Откуда s = -\frac{1}{RC}

Значит, общее решение будет выглядеть так:

V(t)=V_{IN}+Ae^{-\frac{t}{RC}}

Где все еще остается неизвестный член – А. Как его найти? Очень просто, если учесть, что в начальный момент времени t = 0, напряжение равно какому то установившемуся V0.

A=V_{0}-V_{IN}

Подставляем в главную формулу:

V(t)=V_{IN}+(V_{0}-V_{IN})e^{-\frac{t}{RC}}

Вспоминаем, что ток это C\frac{dV_{c}}{dt}

Находим еще и ток:

I(t)=-\frac{1}{R}(V_{0}-V_{IN})e^{-\frac{t}{RC}}

Все готово, теперь в зависимости от начального напряжения мы будем получать разные графики, попробуем их построить.

1. Пусть V0 = 0, VIN = 5, C = 1uF, R = 1 kOhm

Ток максимален в начальное время зарядки емкости и убывает по мере нарастания напряжения.

Если подставить в формулу для напряжения вместо t постоянную времени RC, то можно убедиться что за это время напряжение достигнет 63.2% от своей максимальной величины и дальше заряд будет происходить медленнее, для того чтобы достичь 99% понадобится промежуток времени 5RC.

2. Пусть V0 = 5, VIN = 0, C = 1uF, R = 1 kOhm

Ток ведет себя идентично прошлому случаю, но имеет противоположный знак, а вот напряжение ведет себя явно по другому. Снова подставим t = RC в нашу формулу и увидим, что теперь за это время оно упало до 36.8%, то есть разряд происходит быстрее заряда.

RL цепь, проходная индуктивность.

Вспоминаем, что V_{L}=L\frac{di}{dt}

И понимаем, что в данном случае удобнее использовать не KCL, a KVL:

-V_{IN}+V_{L}+V_{OUT}=0

L\frac{di}{dt}+iR=V_{IN}

Решаем:

P: i_{p}=\frac{V_{IN}}{R}

H: s=-\frac{R}{L}

если учесть, что i0*R = V0, то получаем итоговое решение:

I(t)=\frac{V_{IN}}{R}+\frac{(V_{0}-V_{IN})}{R}e^{-\frac{Rt}{L}}

V(t)=V_{IN}+(V_{0}-V_{IN})e^{-\frac{Rt}{L}}

1. Пусть V0 = 0, VIN = 5, L = 1 mH, R = 1

2. Пусть V0 = 5, VIN = 0, L = 1 mH, R = 1

Кривые напряжения аналогичны кривым в прошлой RC цепи, ток теперь повторяет форму напряжения (закон Ома никто не отменял, да :) ).

RC цепь, проходная емкость.

Здесь я так нормально подвис, осознание того, как решать это мне давалось непросто. В итоге я пришел к какой-то финальной версии, но найти другое мне как-то не удавалось.

Поэтому я сразу предупреждаю, что не утверждаю, что мой метод верен на 100% и что я шел правильным путем, но графики моих формул похожи на правду.

В общем, главное умозаключение, к которому я пришел при детальном анализе этой цепи: нам нужно рассматривать изменения напряжения, так как при постоянном напряжении на выходе тока не протекает.

Запишем узловое уравнение для выхода:

\frac{V_{out}}{R}+C\frac{d\Delta V}{dt}=0

Где \Delta V = V_{out} - V_{in}

Причем, Vin это не абсолютное значение, а тоже некая дельта входного напряжения.

Перепишем в привычном для решения диф уравнений виде:

\Delta V + RC\frac{d\Delta V}{dt}=-V_{in}

И будем решать уравнение относительно дельта напряжения вокруг емкости:

P: \Delta V_{p}=-V_{in}

H: s = -\frac{1}{RC}

T: \Delta V_{T}=-V_{in}+Ae^{-\frac{t}{RC}}

В начальный момент времени для дельты по умолчанию равен 0, поэтому A = Vin

и \Delta V_{T}=-V_{in}+V_{in}e^{-\frac{t}{RC}}

Это формула для напряжения вокруг емкости, нам нужно напряжение на выходе:

\Delta V_{T}=V_{in}e^{-\frac{t}{RC}}

и ток \Delta I_{T}=\frac{1}{R}V_{in}e^{-\frac{t}{RC}}

Итак, начального напряжения теперь нет, есть только направление изменения входного напряжения.

1. dVin = +5 В, R = KOhm, C = 1 uF:

Ток повторяет форму напряжения, снова закон Ома в действии :)

2. dVin = -5 В, R = KOhm, C = 1 uF:

RL цепь, индуктивность на землю.

Следуя KVL запишем наше главное уравнение:

-V_{in}+iR+L\frac{di}{dt}=0

и чутка перепишем его:

iR+L\frac{di}{dt}=V_{in}

P: i_{p}=\frac{V_{in}}{R}

H: s=-\frac{R}{L}

T: i_{t}=\frac{V_{in}}{R}+Ae^{-\frac{Rt}{L}}

Еще чутка перепишем уравнение:

 i_{t}R=V_{in}+Ae^{-\frac{Rt}{L}}R

Если взять начальный момент, то в левой части уравнения будет стоять ни что иное как V0, откуда \frac{V_{0}-V_{in}}{R}

Ну и финальный результат:

I(t)=\frac{V_{in}}{R}+\frac{V_{0}-V_{in}}{R}e^{-\frac{Rt}{L}}

V(t)=-(V_{0}-V_{in})e^{-\frac{Rt}{L}}

Пытаемся построить графики:

1. L = 1 mH, R = 1 Ohm, V0 = 0, Vin = 5

1. L = 1 mH, R = 1 Ohm, V0 = 5, Vin = 0

Ну вроде как-то так, для наглядности я еще все графики вынес в отдельную большую картинку(кликабельно):

Мы рассмотрели цепи с источником напряжения на входе, но иногда цепи с источником тока на входа также могут представлять определенный интерес, поэтому я попытаюсь рассмотреть еще и их.

Источник тока на входе

RC цепь, емкость на землю

Вспомним что I = C\frac{dV}{dt}

Но здесь у нас источник тока, значит ток определен изначально и в последовательной цепи он будет равен как через резистор, так и для зарядки емкости.

Итак, попытаемся выразить напряжение выхода исходя из вышеприведенной формулы:

V(t) = \frac{1}{C}\int{Idt}

Но, что если ток течет лишь в течении определенного времени с t1 до t2 :

В этом случае имеет место:

V = V_{0}, для t = t0..t1

V = V_{0}+\frac{It}{C}, для t = t1..t2

V = V_{0}+\frac{IT}{C}, для t = t2..~

Где T = t2-t1, а IT – есть ни что иное, как заряд.

Для данного случая я просто приведу результаты моделирования:

Вроде как сходится с моими умозаключениями. Кстати, на этом принципе делается генератор пилы.

RL цепь, проходная индуктивность

С идеальным источником тока мы получаем простую формулу:

V(t)=IR

RC цепь, проходная емкость

Опять схожая ситуация с прошлым случаем, пока течет ток заряда на выходе напряжение будет определяться:

V_{out}=It

RL цепь, индуктивность на землю

Здесь выходное нарпяжение следует искать прямо из формулы:

V_{out} = L\frac{dI}{dt}

То есть напряжение на выходе будет пропорционально скорости роста тока и будет нулевым в его постоянных значениях:

Если приблизить маленькие пички на графиках, то можно заметить постоянный импульс напряжения в то время, как ток растет/убывает.

Ну вот, вроде как пока все, что я хотел отразить, потом возможно добавлю еще другую статью, где рассмотрю дифференцирующие/интегрирующие свойства данных цепей и фильтры на них.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code class="" title="" data-url=""> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong> <pre class="" title="" data-url=""> <span class="" title="" data-url="">