Цепи первого порядка (First-order circuits)

Давненько я уже ничего не постил, разбавим чутка молчание теоретическим постом. Цепи первого порядка – RC/LC цепь, имеющая только один элемент, способный накапливать энергию. Попытаемся вывести базовые формулы, которые позволят строить зависимости напряжение/ток во времени.

Ну, погнали чтоли

RC цепь, емкость на землю.

Итак, пусть на входе напряжение скачкообразно изменилось с V0 до Vin.

Запишем узловое уравнение для выхода:

$C\frac{dV_{c}}{dt} + \frac{V_{c}-V_{IN}}{R} = 0$

Что в свою очередь приводит нас к:

$RC\frac{dV_{c}}{dt} + V_{c} = V_{IN}$

А это как обычное дифференциальное уравнение первого порядка, решаем!

Сразу оговорюсь, на правильность названий не претендую, курсы матана и диффур у меня уже практически забыты, плюс ко всему не хочется усложнять простые вещи, как любят это делать многие русскоязычные ресурсы, поэтому просто следите за мыслью 🙂

Напоминаю, решение дифференциального можно представить в виде:

$x = x_{p} + x_{h}$

Для Xp, перепишем уравнение в виде:

$RC\frac{dV_{cp}}{dt} + V_{cp} = V_{IN}$

И попытаемся угадать его решение:

$V_{cp} = V_{IN}$

Отлично, первая часть готова, остался Xh:

$RC\frac{dV_{ch}}{dt} + V_{ch} = 0$

Решение этой части должно находится в виде $Ae^{st}$

После подстановки такого вида в исходную формулу, получим следующее выражение:

$RCs+1=0$

Откуда $s = -\frac{1}{RC}$

Значит, общее решение будет выглядеть так:

$V(t)=V_{IN}+Ae^{-\frac{t}{RC}}$

Где все еще остается неизвестный член – А. Как его найти? Очень просто, если учесть, что в начальный момент времени t = 0, напряжение равно какому то установившемуся V0.

$A=V_{0}-V_{IN}$

Подставляем в главную формулу:

$V(t)=V_{IN}+(V_{0}-V_{IN})e^{-\frac{t}{RC}}$

Вспоминаем, что ток это $C\frac{dV_{c}}{dt}$

Находим еще и ток:

$I(t)=-\frac{1}{R}(V_{0}-V_{IN})e^{-\frac{t}{RC}}$

Все готово, теперь в зависимости от начального напряжения мы будем получать разные графики, попробуем их построить.

1. Пусть V0 = 0, VIN = 5, C = 1uF, R = 1 kOhm

Ток максимален в начальное время зарядки емкости и убывает по мере нарастания напряжения.

Если подставить в формулу для напряжения вместо t постоянную времени RC, то можно убедиться что за это время напряжение достигнет 63.2% от своей максимальной величины и дальше заряд будет происходить медленнее, для того чтобы достичь 99% понадобится промежуток времени 5RC.

2. Пусть V0 = 5, VIN = 0, C = 1uF, R = 1 kOhm

Ток ведет себя идентично прошлому случаю, но имеет противоположный знак, а вот напряжение ведет себя явно по другому. Снова подставим t = RC в нашу формулу и увидим, что теперь за это время оно упало до 36.8%, то есть разряд происходит быстрее заряда.

RL цепь, проходная индуктивность.

Вспоминаем, что $V_{L}=L\frac{di}{dt}$

И понимаем, что в данном случае удобнее использовать не KCL, a KVL:

$-V_{IN}+V_{L}+V_{OUT}=0$

$L\frac{di}{dt}+iR=V_{IN}$

Решаем:

P: $i_{p}=\frac{V_{IN}}{R}$

H: $s=-\frac{R}{L}$

если учесть, что i0*R = V0, то получаем итоговое решение:

$I(t)=\frac{V_{IN}}{R}+\frac{(V_{0}-V_{IN})}{R}e^{-\frac{Rt}{L}}$

$V(t)=V_{IN}+(V_{0}-V_{IN})e^{-\frac{Rt}{L}}$

1. Пусть V0 = 0, VIN = 5, L = 1 mH, R = 1

2. Пусть V0 = 5, VIN = 0, L = 1 mH, R = 1

Кривые напряжения аналогичны кривым в прошлой RC цепи, ток теперь повторяет форму напряжения (закон Ома никто не отменял, да 🙂 ).

RC цепь, проходная емкость.

Здесь я так нормально подвис, осознание того, как решать это мне давалось непросто. В итоге я пришел к какой-то финальной версии, но найти другое мне как-то не удавалось.

Поэтому я сразу предупреждаю, что не утверждаю, что мой метод верен на 100% и что я шел правильным путем, но графики моих формул похожи на правду.

В общем, главное умозаключение, к которому я пришел при детальном анализе этой цепи: нам нужно рассматривать изменения напряжения, так как при постоянном напряжении на выходе тока не протекает.

Запишем узловое уравнение для выхода:

$\frac{V_{out}}{R}+C\frac{d\Delta V}{dt}=0$

Где $\Delta V = V_{out} - V_{in}$

Причем, Vin это не абсолютное значение, а тоже некая дельта входного напряжения.

Перепишем в привычном для решения диф уравнений виде:

$\Delta V + RC\frac{d\Delta V}{dt}=-V_{in}$

И будем решать уравнение относительно дельта напряжения вокруг емкости:

P: $\Delta V_{p}=-V_{in}$

H: $s = -\frac{1}{RC}$

T: $\Delta V_{T}=-V_{in}+Ae^{-\frac{t}{RC}}$

В начальный момент времени для дельты по умолчанию равен 0, поэтому A = Vin

и $\Delta V_{T}=-V_{in}+V_{in}e^{-\frac{t}{RC}}$

Это формула для напряжения вокруг емкости, нам нужно напряжение на выходе:

$\Delta V_{T}=V_{in}e^{-\frac{t}{RC}}$

и ток $\Delta I_{T}=\frac{1}{R}V_{in}e^{-\frac{t}{RC}}$

Итак, начального напряжения теперь нет, есть только направление изменения входного напряжения.

1. dVin = +5 В, R = KOhm, C = 1 uF:

Ток повторяет форму напряжения, снова закон Ома в действии 🙂

2. dVin = -5 В, R = KOhm, C = 1 uF:

RL цепь, индуктивность на землю.

Следуя KVL запишем наше главное уравнение:

$-V_{in}+iR+L\frac{di}{dt}=0$

и чутка перепишем его:

$iR+L\frac{di}{dt}=V_{in}$

P: $i_{p}=\frac{V_{in}}{R}$

H: $s=-\frac{R}{L}$

T: $i_{t}=\frac{V_{in}}{R}+Ae^{-\frac{Rt}{L}}$

Еще чутка перепишем уравнение:

$i_{t}R=V_{in}+Ae^{-\frac{Rt}{L}}R$

Если взять начальный момент, то в левой части уравнения будет стоять ни что иное как V0, откуда $\frac{V_{0}-V_{in}}{R}$

Ну и финальный результат:

$I(t)=\frac{V_{in}}{R}+\frac{V_{0}-V_{in}}{R}e^{-\frac{Rt}{L}}$

$V(t)=-(V_{0}-V_{in})e^{-\frac{Rt}{L}}$

Пытаемся построить графики:

1. L = 1 mH, R = 1 Ohm, V0 = 0, Vin = 5

1. L = 1 mH, R = 1 Ohm, V0 = 5, Vin = 0

Ну вроде как-то так, для наглядности я еще все графики вынес в отдельную большую картинку(кликабельно):

Мы рассмотрели цепи с источником напряжения на входе, но иногда цепи с источником тока на входа также могут представлять определенный интерес, поэтому я попытаюсь рассмотреть еще и их.

Источник тока на входе

RC цепь, емкость на землю

Вспомним что $I = C\frac{dV}{dt}$

Но здесь у нас источник тока, значит ток определен изначально и в последовательной цепи он будет равен как через резистор, так и для зарядки емкости.

Итак, попытаемся выразить напряжение выхода исходя из вышеприведенной формулы:

$V(t) = \frac{1}{C}\int{Idt}$

Но, что если ток течет лишь в течении определенного времени с t1 до t2 :

В этом случае имеет место:

$V = V_{0}$ , для t = t0..t1

$V = V_{0}+\frac{It}{C}$ , для t = t1..t2

$V = V_{0}+\frac{IT}{C}$ , для t = t2..~

Где T = t2-t1, а IT – есть ни что иное, как заряд.

Для данного случая я просто приведу результаты моделирования:

Вроде как сходится с моими умозаключениями. Кстати, на этом принципе делается генератор пилы.

RL цепь, проходная индуктивность

С идеальным источником тока мы получаем простую формулу:

$V(t)=IR$

RC цепь, проходная емкость

Опять схожая ситуация с прошлым случаем, пока течет ток заряда на выходе напряжение будет определяться:

$V_{out}=It$

RL цепь, индуктивность на землю

Здесь выходное нарпяжение следует искать прямо из формулы:

$V_{out} = L\frac{dI}{dt}$

То есть напряжение на выходе будет пропорционально скорости роста тока и будет нулевым в его постоянных значениях:

Если приблизить маленькие пички на графиках, то можно заметить постоянный импульс напряжения в то время, как ток растет/убывает.

Ну вот, вроде как пока все, что я хотел отразить, потом возможно добавлю еще другую статью, где рассмотрю дифференцирующие/интегрирующие свойства данных цепей и фильтры на них.

PIC микроконтроллеры

PIC микроконтроллеры, средства проектирования, схемотехника

Цепи первого порядка (First-order circuits)

Добавить комментарий Отменить ответ